Історія чисел і система числення позиційні системи (коротко)

Історія чисел і система числення тісно взаємопов'язані, тому що система числення і являє собою спосіб запису такого абстрактного поняття, як число. Дана тема не відноситься суто до області математики, адже все це є важливою частиною культури народу в цілому. Тому, коли розбирається історія чисел і систем числення, коротко зачіпаються і багато інші аспекти історії створили їх цивілізацій. Системи в цілому поділяються на позиційні, непозиционные і змішані. З їх чергування складаються вся історія чисел і систем числення. Позиційні системи – це такі, в яких величина, що позначається цифрою в запису числа, залежить від її позиції. У непозиционных системах, відповідно, такої залежності немає. Людством створені і змішані системи.

Вивчення систем числення в школі

Сьогодні урок «Історія чисел і систем числення» проводиться в 9 класі в рамках курсу з інформатики. Головне практичне його значення – навчити переводити числа з однієї системи числення в іншу (насамперед десятірічной в двійкову). Однак історія чисел і систем числення є органічною частиною історії в цілому і цілком могла б доповнити також і цей предмет шкільної програми. Також це могло б поліпшити пропагований сьогодні міждисциплінарний підхід. У рамках загального курсу історії в принципі могла б вивчатися не тільки історія економічного розвитку, соціально-політичних рухів, правлінь і воєн, але й у невеликий ступеня історія чисел і систем числення. 9 клас у курсі інформатики в такому разі можна було б в частині переведення чисел з однієї системи в іншу забезпечити значно більшим число прикладів з раніше пройденого матеріалу. А ці приклади не позбавлені цікавості, що буде показано нижче.

Виникнення систем числення

Складно сказати, коли, а головне, як людина навчилася рахувати (так само, як неможливо достеменно з'ясувати, коли, а головне, як виникла мова). Відомо тільки, що всі стародавні цивілізації вже мали свої системи рахунку, значить, історія чисел і система числення зародилися в доцивилизационное час. Камені і кістки не здатні розповісти нам, що відбувалося в людській свідомості, а письмових джерел тоді ще не створювали. Можливо, рахунок знадобився людині при розділі видобутку чи багато пізніше, вже в ході неолітичної революції, тобто при переході до землеробства, для розділу ділянок поля. Будь-які теорії на цей рахунок будуть рівною ступеня безпідставними. Але деякі припущення можна зробити, вивчаючи історію різних мов.

Сліди найдавнішої системи числення

Найлогічніша початкова система рахунку – протиставлення понять «один» – «багато». Логічна вона для нас тому, що в сучасному російській мові існує тільки єдине і множинне число. Але в багатьох древніх мовах було також і двоїсте число для позначення двох предметів. Існувало воно і в перше індоєвропейських мовах, включаючи давньоруський. Таким чином, історія чисел і система числення почалися з поділу понять «один», «два», «багато». Проте вже у найдавніших відомих нам цивілізаціях були розроблені більш детальні системи числення.

Месопотамська запис чисел

Ми звикли, що система числення десятирична. Це і зрозуміло: на руках 10 пальців. Але тим не менш історія виникнення чисел і систем числення пройшла через більш складні фази. Месопотамська система числення – шестидесятиричная. Тому досі в годині 60 хвилин, а в хвилині 60 секунд. Тому рік ділиться на число місяців, кратне 60 а день ділиться на таке ж число годин. Спочатку це були сонячні годинники, тобто кожен з них становив 1/12 світлового дня (на території сучасного Іраку його тривалість не сильно варіювала). Тільки багато пізніше тривалість години стали визначати не по сонцю і додали також 12 нічних годин. Цікаво те, що записувалися знаки цієї шестидесятиричной системи, ніби вона десятиричная існувало тільки два знаки (позначення одиниці і десятки, не шести і не шістдесяти, а саме десятка), цифри отримували, комбінуючи ці знаки. Страшно собі навіть уявити, як складно було записати скільки-небудь велике число таким способом.

Давньоєгипетська система числення

І історія чисел в десятірічной системі числення, і використання численних значків для позначення чисел почалося з давніх єгиптян. Вони комбінували ієрогліфи, які означали один, сто, тисячу, десять тисяч, сто тисяч, мільйон і десять мільйонів, позначаючи таким чином потрібне число. Така система була набагато зручніше, ніж месопотамська, використовувала тільки два знака. Але при цьому вона мала явне обмеження: складно було записати число, значно більше, ніж десять мільйонів. Правда, давньоєгипетська цивілізація, як і більшість цивілізацій Стародавнього світу, з такими числами не стикалася.

Еллінські літери у записах математичних

Історія європейської філософії, науки, політичної думки і багато чого іншого в чому починається в Стародавній Елладі («Еллада» – це самоназва, воно краще, ніж придумане римлянами «Греція»). Розвинені в цій цивілізації були і математичні знання. Числа елліни записували літерами. Окремі букви позначали кожне число від 1 до 9 кожен десяток від 10 до 90 і кожну сотню від 100 до 900. Тільки тисячу позначали тієї ж букви, що і одиницю, але з іншим знаком поруч із буквою. Система дозволяла навіть великі цифри позначати відносно короткими написами.

Слов'янська система числення як спадкоємиця еллінської

Історія чисел і систем числення була б не повною без кількох слів про наших предків. Кирилиця, як відомо, заснована на еллінському алфавіті, тому і слов'янська система запису цифр також була заснована на еллінської. Тут теж окремими літерами позначалося кожне число від 1 до 9 кожен десяток від 10 до 90 і кожна сотня від 100 до 900. Тільки використовувалися не еллінські букви, а кирилиця, або глаголиця. Існувала також і цікава особливість: незважаючи на те що і еллінські тексти в той час, і слов'янські з самого початку їх історії записувалися зліва направо, слов'янські цифри писалися як би справа наліво, тобто букви, що позначали десятки ставили праворуч букв, що позначали одиниці, букви, що позначали сотні правіше букв, що позначали десятки і т. д.

Аттическое спрощення

Еллінські вчені досягли величезних висот. Римське завоювання не перервало їх досліджень. Наприклад, судячи з непрямими свідченнями, Аристарх Самоський за 18 століть до Коперника розробив Геліоцентричну систему світу. У всіх цих складних розрахунках еллінським вченим допомагала їх система запису чисел. Але для простих людей, наприклад, торговців, система часто виявлялася занадто складною: щоб її використовувати, потрібно запам'ятати числові значення 27 літер (замість числових значень 10 символів, які вчать сучасні школярі). Тому з'явилася спрощена система, що отримала назву аттичної (Аттіка – область Еллади, один час лідирувала в регіоні в цілому і особливо в морській торгівлі регіону, так як столицею Аттики були знамениті Афіни). У цій системі окремими літерами стали позначатися тільки числа один, п'ять, десять, сто, тисяча, десять тисяч. Виходить всього шість знаків – їх набагато легше запам'ятовувати, а надто складних обчислень торговці все одно не виробляли.

Римські цифри

І система числення, і історія чисел давніх римлян, і в принципі історія науки є продовженням еллінської історії. За основу була взята аттична система, просто еллінські букви замінили латинськими і додали окреме позначення та п'ятсот п'ятдесяти. При цьому складні розрахунки в своїх трактатах вчені продовжували виробляти еллінською системою запису в 27 літер (так і трактати самі вони зазвичай писали по-еллінському). Римську систему запису чисел не можна назвати особливо досконалою. Зокрема, вона набагато більш примітивна, ніж давньоруська. Але історично склалося так, що вона досі зберігається нарівні з арабськими (так званими) цифрами. І забувати цю альтернативну систему, переставати її використовувати не варто. Зокрема, сьогодні часто арабськими цифрами позначаються кількісні числівники, а римськими – порядкові.

Велике древнеиндийское винахід

Цифри, які ми сьогодні використовуємо, з'явилися спочатку в Індії. Точно не відомо, коли історія чисел і система числення зробили цей знаменний поворот, але, швидше за все, не пізніше V століття від Різдва Христового. Часто підкреслюється, що саме індійці розробили поняття нуля. Таке поняття було відомо математикам і інших цивілізацій, але дійсно лише система індійців дозволила повноцінно включити його в математичні записи, а значить, і в обчислення.

Поширення індійської системи числення по Землі

Приблизно в IX столітті індійські цифри, запозичили араби. У той час як європейці зневажливо ставилися до античної спадщини, а в деяких регіонах навіть навмисно знищували його як язичницьке, араби дбайливо зберігали досягнення стародавніх греків і римлян. З самого початку їх завоювань ходовим товаром стали переклади античних авторів на арабську. В основному через трактати арабських вчених середньовічні європейці знову знайшли спадщина стародавніх мислителів. Разом з цими трактатами прийшли і індійські цифри, які в Європі стали називати арабськими. Вони не відразу були прийняті, тому що для більшості людей виявилися менш зрозумілими, ніж римські. Але поступово зручність математичних розрахунків з допомогою цих знаків перемогло невігластво. Лідерство європейських промислово розвинених країн призвело до того, що так звані арабські цифри поширилися по всьому світу і сьогодні застосовуються практично повсюдно.

Двійкова система числення сучасних комп'ютерів

З появою комп'ютерів поступово зробили значний поворот багато галузі знань. Не стала винятком історія чисел і систем числення. Фото першого комп'ютера мало нагадує сучасний пристрій, на моніторі якого ви читаєте цю статтю, але робота їх обох заснована на двійковій системі числення, коді, що складається тільки з нулів та одиниць. Для повсякденної свідомості все ж залишається дивним, що з допомогою комбінації із двох символів (фактично сигналу або його відсутності) можна проводити найскладніші обчислення і автоматично (при наявності відповідної програми) переводити числа десятірічной системі числення в числа в двійковій, шістнадцятковій, шестидесятишестиричной і будь-якої іншої системи. І з допомогою такого двійкового коду на моніторі зображується дана стаття, де відображена історія чисел і система числення в різних цивілізацій в історії.