Комплексні числа та дії над ними

Комплексні числа , у традиційному розумінні цього слова, не є числами, що застосовуються при підрахунках і вимірюваннях, а є математичними об'єктами, які визначаються представленими нижче властивостями. Використовують 3 форми комплексного числа: алгебраїчну, показову, тригонометрическую.

Алгебраїчна Форма

Комплексні числа позначають виразом + i, де є дійсними і , а символ i , визначається умовою i 2 - 1 - уявна одиниця. Відповідно число комплексне + i ділиться на дійсну і уявну частину. Для зручності зображують його однією буквою (наприклад ): = + i . Частини комплексного числа = + i , дійсну та уявну, позначають = Re, = It відповідно. Рівними вважаються комплексні числа, коли еквівалентні їх і дійсні та уявні частини. Рівним нулю вважається комплексне число, якщо його частини, дійсна та уявна, дорівнюють нулю.

Арифметичні дії

Додавання Сумою комплексних чисел називають комплексне число, дійсна частина якого еквівалентна сумі дійсних частин, а уявна еквівалентна сумі уявних частин: =( 1 + 2 )+( 1 + 2 )i. Кажуть що в числі комплексному знайшли в результаті додавання комплексних чисел : = 1 + 2. Комплексні 1 і 2 іменують доданками. Закони операції додавання: 1) закон асоціативності; 2) закон комутативності . Комплексне Число --bi називають комплексного числа +i протилежним. Сума протилежних комплексних чисел дорівнює нулю. Різниця Різницею комплексних чисел називають число комплексне дорівнює сумі числа 1 і числа протилежної 2 : = 1 +(- 2 )=( 1 - 2 )+( 1 - 2 )i. Про числі комплексному кажуть, що його знайшли в результаті віднімання 2 і 1 (комплексних чисел), і записують: = 2 - 1 . Твір Добутком чисел комплексних є комплексне число: =( 1 2 - 1 2 )+( 1 1 + 2 1 )i. Про числі комплексному кажуть, що його отримали множенням 1 на 2 (числа 1 і 2 - комплексні), і записують: = 1 2 . Комплексні 1 і 2 називають множниками. Закони множення комплексних чисел: 1) закон асоціативності ; 2) закон комутативності . Поділ Приватним комплексних чисел називають таке комплексне , що 1 = 1: 2 ( 2 /= 0 ) . Приватне комплексних чисел обчислюють за формулою: =( 1 2 - 1 2 )/( 2 + 2 )+( 1 1 + 2 1 )i/( 2 + 2 ). Про числі кажуть, що його отримали в результаті поділу 1 на 2 , і записують: = 1 / 2 . Додавання і множення комплексних чисел пов'язані правилом, яке називається дистрибутивним закон множення відносно додавання .

Тригонометричні комплексні числа

Застосовують також іншу форму запису комплексних чисел, яка називається тригонометричної. Комплексне Число + i можна записати так: =k(cos+isin), де k 2 = 2 + 2 . Це вираз - форма запису комплексних чисел, яка носить назву тригонометричної. Модуль комплексного числа - дійсне число k , а кут , що вимірюється в радіанах - його аргументом. Якщо комплексне число дорівнює нулю, то модуль його позитивний; якщо ж =0 інакше кажучи ==0 , то й модуль його дорівнює нулю. Модуль визначений однозначно. Твором тригонометричних комплексних чисел є модуль комплексного числа, який еквівалентний добутку множників, вірніше, їх модулів, а аргумент еквівалентний сумі аргументів множників:




1 2 =k 1 k 2 [cos(β1+β2)+isin(β1+β2)]. Приватним тригонометричних комплексних чисел, які не дорівнюють нулю, є комплексне число, модуль якого еквівалентний приватному діленого і дільника (їх модулів), а аргумент еквівалентний різниці аргументів діленого і дільника: 1 / 2 =k 1 /k 2 [cos(β1-β2)+isin(β1-β2)].

Натуральна ступінь комплексного числа

В математиці n-ї ступенем комплексного називають комплексне w , знайдене в результаті множення комплексного n раз саму на себе: w = . Зазвичай використовують коротше запис: w= n , кількість - основа ступеня, а n (число натуральне)- показник ступеня. n-я ступінь (комплексне число), яке використовується у тригонометричній формі, обчислюється за формулою: n =k n (cosn+isinn). Ця формула носить назву - формула Муавра.