Обертальний рух і кутова швидкість твердого тіла

У цій статті мова піде про фізичних величинах, які характеризують обертальний рух тіла: кутова швидкість, кутове переміщення, кутове прискорення, момент сил. Твердим тілом називають сукупність жорстко пов'язаних матеріальних точок. Коли тверде тіло виробляє обертання відносно будь-якої осі, окремі матеріальні точки, з яких воно складається, рухаються по колах різних радіусів.




За певний проміжок часу, наприклад, за який тіло зробить один оберт, окремі матеріальні точки, з яких складається тверде тіло, пройдуть різні шляхи, отже, окремі точки будуть мати різні лінійні швидкості. Описувати обертання твердого тіла з допомогою лінійних швидкостей окремих матеріальних точок - складно.

Кутове переміщення

Однак, аналізуючи рух окремих матеріальних точок, можна встановити, що за однаковий проміжок часу всі вони обертаються навколо осі на однаковий кут. Тобто для опису обертання твердого тіла зручно користуватися такою фізичною величиною, як кутове переміщення: = (t).

Кутова швидкість і кутове прискорення

Обертальний рух можна охарактеризувати кутовою швидкістю: = /t. Кутова швидкість характеризує швидкість обертання тіла і дорівнює відношенню зміни кута повороту до часу, за який воно сталося. Вимірюється в радіанах за секунду:[ω]= рад/с. Кутова швидкість обертання пов'язана з лінійною швидкістю наступним співвідношенням: v = R, де R – радіус кола, по якій рухається тіло. Обертальний рух тіла характеризується ще однією фізичною величиною - кутовим прискоренням, що дорівнює відношенню зміни кутової швидкості до часу, за який воно сталося: = /t. Одиниця вимірювання кутового прискорення: [ε]= рад/с 2 .




Кутова швидкість і кутове прискорення є псевдовекторами, напрямок яких залежить від напрямку обертання. Його можна визначити за правилом правого гвинта.

Рівномірний обертальний рух

Рівномірний обертальний рух здійснюється з постійною кутовою швидкістю і описується такими рівняннями: = 0 = const, = 0 + t, де 0 – початкове значення кута повороту.

Равноускоренное обертальний рух

Равноускоренное обертальний рух відбувається з постійним кутовим прискоренням і описується такими рівняннями: = const, = 0 + t, = 0 + 0 t + t 2 /2. Під час обертання твердого тіла центростремительное прискорення кожної точки цього тіла можна знайти так: ц = v 2 /R = (R) 2 /R = 2 R. Коли обертання твердого тіла прискорене, можна знайти тангенціальне прискорення його точок за формулою: t = v/t= (R)/t= R(, t) = R.

Момент сил

Якщо, розглядаючи фізичну проблему, ми маємо справу не з матеріальною точкою, а з твердим тілом, то дія кількох сил на нього, доданих до різних точок цього тіла, не можна звести до дії однієї сили. В цьому випадку розглядають момент сил.




Моментом сили називають добуток сили на плече. Це векторна величина, і її знаходять за формулою: M = RFsin, де - кут між векторами R і F . Якщо на тіло діє кілька моментів сил, то їх дію можна замінити їх рівнодіючої, векторною сумою цих моментів: M = M 1 + M 2 + + M n . Експерименти і досвід показують, що під дією моменту сили кутова швидкість тіла змінюється, то є тіло має кутове прискорення. З'ясуємо, як залежить кутове прискорення матеріальної точки (сукупності матеріальних точок) від прикладеного моменту сил: F = m, RF = Рвс = R 2 m, = M/mR 2 = M/I, де I = mR 2 - момент інерції матеріальної точки. Зауважимо, що момент інерції тіла має залежність як від маси тіла, так і від розташування цієї маси відносно осі обертання.

Приклади розв'язання задач

Завдання 1. Ротор центрифуги робить 2•10 4 об/хв. Після того, як вимкнули двигун, його обертання припиняється через 8 хв. Знайдіть кутове прискорення, а також число оборотів, яке здійснює ротор з моменту вимкнення двигуна до повної зупинки, вважаючи, що рух ротора равноускоренное. Рішення Знайдемо кутове прискорення, враховуючи, що кутова швидкість при рівноприскореному русі описується рівнянням: (t) = 0 - t. Звідси, враховуючи, що в кінці руху швидкість дорівнює нулю, знайдемо: = 0 /t = 2n/t. Перевівши дані задачі в систему одиниць СІ (n = 333 об/с; t = 480 с) , отримаємо: = 2333/480 = 436(рад/с 2 ). Кут повороту ротора центрифуги за час t буде: (t)= 0 + 0 t + t 2 /2. У читивая вираз для кутового прискорення і те, що 0 = 0 , знаходимо: (t)= 0 t/2 = nt. Кількість обертів ротора за цей час буде: N = (t)/2 = nt/2 = nt = 8•10 4 (про.). Відповідь: кутове прискорення дорівнює 436 радий/з 2 ; кількість обертів, зроблене ротором з моменту вимкнення двигуна до повної зупинки, одно 8•10 4 про. Завдання 2. Диск, що має масу 1 кг і радіус 20 см, обертається з частотою 120 об. у хвилину. Під дією гальмівного пристрою на край диска почала діяти сила тертя 10 Н. Знайдіть час зупинки диска, після того як на нього стала діяти сила тертя. Рішення Знайдемо гальмівний момент сил, що діє на диск: M = RF. Знайдемо кутове прискорення диска: = M/I = FR/mR 2 = F/mR. Знайдемо час, за який диск зупиниться: t = 0 / , де 0 - початкова кутова швидкість диска, яка дорівнює 2v. Зробимо обчислення: t = 2v/= 2vmR/F= 628•2•1•02/10 = 25 (з). Відповідь: час зупинки одно 25 с.