Обертальний рух тіла. Закон обертального руху

У цій статті описується важливий розділ фізики - "Кінематика та динаміка обертального руху".

Основні поняття кінематики обертального руху

Обертальним рухом матеріальної точки навколо нерухомої осі називають такий рух, траєкторією якого є окружність, що знаходиться в площині перпендикулярній до осі, а центр її лежить на осі обертання.




Обертальний рух твердого тіла - це рух, при якому за концентричним (центри яких лежать на одній осі) кола рухаються всі точки тіла у відповідності з правилом для обертального руху матеріальної точки. Нехай довільне тверде тіло T здійснює обертання навколо осі O, яка перпендикулярна площині малюнка. Виберемо на даному тілі точку M. При обертанні ця точка буде описувати навколо осі O коло радіусом r . Через деякий час радіус повернеться щодо початкового положення на кут . За позитивний напрямок повороту прийнято напрямок правого гвинта (за годинниковою стрілкою). Зміна кута повороту з часом називається рівняння обертального руху твердого тіла: = (t). Якщо вимірювати в радіанах (1 рад - це кут, що відповідає дузі, довжиною дорівнює її радіусу), то довжина дуги кола S, яку пройде матеріальна точка M за час T, дорівнює: S = r.

Основні елементи кінематики рівномірного обертального руху

Мірою переміщення матеріальної точки за невеликий проміжок часу dt служить вектор елементарного повороту d . Кутова швидкість матеріальної точки або тіла - це фізична величина, яка визначається відношенням вектора елементарного повороту до тривалості цього повороту. Напрямок вектора можна визначити правилом правого гвинта уздовж осі О. В скалярному вигляді:




= d/dt. Якщо = d/dt = const, то такий рух називається рівномірний обертальний рух. При ньому кутову швидкість визначають за формулою = /t. Згідно попередньою формулою розмірність кутової швидкості [ω]= 1 рад/с. Рівномірний обертальний рух тіла можна описати періодом обертання. Період обертання T - фізична величина, що визначає час, за який тіло навколо осі обертання виконує один повний оборот ([T]= 1 с). Якщо у формулі для кутової швидкості прийняти t = T, = 2 (один повний оборот радіусу r), то = 2/T, тому період обертання визначимо наступним чином: T = 2/. Число оборотів, яке за одиницю часу здійснює тіло, називається частотою обертання , яка дорівнює: = 1/T. Одиниці виміру частоти: [ν]= 1/c = 1 c -1 = 1 Гц. Порівнюючи формули для кутової швидкості та частоти обертання, одержимо вираз, що пов'язує ці величини: = 2.

Основні елементи кінематики нерівномірного обертального руху

Нерівномірне обертальний рух твердого тіла або матеріальної точки навколо нерухомої осі характеризує його кутова швидкість, яка змінюється з часом.




Вектор , що характеризує швидкість зміни кутової швидкості, називається вектором кутового прискорення: = d/dt. Якщо тіло обертається, прискорюючись, тобто d/dt > 0 вектор має напрямок уздовж осі в ту ж сторону, що і . Якщо обертальний рух уповільнено - d/dt < 0 , то вектори і протилежно спрямовані. Зауваження . Коли відбувається нерівномірний обертальний рух, вектор може змінюватися не тільки по величині, але і по напрямом (при повороті осі обертання).

Зв'язок величин, що характеризують поступальний і обертальний рух

Відомо, що довжина дуги з кутом повороту радіуса і його величиною пов'язана співвідношенням S = r. Тоді лінійна швидкість матеріальної точки, що виконує обертальний рух = S/t = r/t = r. Нормальне прискорення матеріальної точки, що виконує обертально-поступальний рух, визначимо наступним чином: a = 2 /r = 2 r 2 /r. Отже, у скалярному вигляді a = 2 r. Тангенціальне прискореної матеріальної точки, яка виконує обертальний рух a = r.

Момент імпульсу матеріальної точки

Векторний добуток радіус-вектора траєкторії матеріальної точки масою m i на її імпульс називається моментом імпульсу цієї точки відносно осі обертання. Напрямок вектора можна визначити, скориставшись правилом правого гвинта. Момент імпульсу матеріальної точки ( L i ) спрямований перпендикулярно площини, проведеної через r i і i , та утворює з ними праву трійку векторів (тобто при русі з кінця вектора r i до i правий гвинт покаже напрямок вектора L i ). У скалярної формі L = m i i r i sin( i , r i ). Враховуючи, що при русі по колу радіус-вектор і вектор лінійної швидкості для i-ої матеріальної точки взаємно перпендикулярні, sin( i , r i ) = 1. Так що момент імпульсу матеріальної точки для обертального руху прийме вигляд L = m i i r i .

Момент сили, що діє на i-ю матеріальну точку

Векторний добуток радіус-вектора, який проведений у точку прикладання сили, на цю силу називається моментом сили, що діє на i-ю матеріальної точки відносно осі обертання. У скалярної формі M i = r i F i sin(r i , F i ). Вважаючи, що r i sin = l i , M i = l i F i . Величина l i , що дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з точки обертання на напрямок дії сили, називається плечем сили F i .

Динаміка обертального руху

Рівняння динаміки обертального руху записується так: M = dL/dt. Формулювання закону наступна: швидкість зміни моменту імпульсу тіла, яке здійснює обертання навколо нерухомої осі, дорівнює результирующему моменту відносно цієї осі всіх зовнішніх сил, прикладених до тіла.

Момент імпульсу і момент інерції

Відомо, що для i-ої матеріальної точки момент імпульсу в скалярної формі задається формулою L i = m i i r i . Якщо замість лінійної швидкості підставити її вираз через кутову: i = r i , то вираз для моменту імпульсу прийме вигляд L i = m i r i 2 . Величина I i = m i r i 2 називається моментом інерції щодо осі i-ої матеріальної точки, абсолютно твердого тіла, що проходить через його центр мас. Тоді момент імпульсу матеріальної точки запишемо: L i = I i . Момент імпульсу абсолютно твердого тіла запишемо суму моментів імпульсу матеріальних точок, що складають дане тіло: L = I.

Момент сили і момент інерції

Закон обертального руху говорить: M = dL/dt. Відомо, що уявити момент імпульсу тіла можна через момент інерції: L = I. Тоді M = Id/dt. Враховуючи, що кутове прискорення визначається виразом = d/dt, отримаємо формулу для моменту сили, представленого через момент інерції: M = I. Зауваження. Момент сили вважається позитивним, якщо кутове прискорення, яким він викликаний, більше нуля, і навпаки.

Теорема Штейнера. Закон додавання моментів інерції

Якщо вісь обертання тіла через його центр мас не проходить, то відносно цієї осі можна знайти його момент інерції за теоремою Штейнера:
I = I 0 + ma 2 , де I 0 - початковий момент інерції тіла; m - маса тіла; a - відстань між осями. Якщо система, яка здійснює обертів округ нерухомої осі, складається з n тіл, то сумарний момент інерції такого типу системи дорівнює сумі моментів, її складових (закон додавання моментів інерції).