Чому дорівнює гравітаційна постійна?

Після вивчення курсу фізики в головах учнів залишаються всілякі постійні та їх значення. Тема гравітації і механіки не стає винятком. Найчастіше відповісти на питання про те, яке значення має гравітаційна постійна, вони не можуть. Але завжди однозначно скажуть, що вона присутня в закон всесвітнього тяжіння.

З історії гравітаційної постійної

Цікаво, що в роботах Ньютона немає такої величини. Вона з'явилася у фізиці істотно пізніше. Якщо бути конкретніше, то тільки на початку дев'ятнадцятого століття. Але це не означає, що її не було. Просто учені її не визначили і не дізналися її точне значення. До речі, про значення. Гравітаційна постійна постійно уточнюється, оскільки є десяткової дробом з великою кількістю цифр після коми, перед якою стоїть нуль. Саме тим, що ця величина приймає таке маленьке значення, пояснюється те, що дія сил гравітації непомітно на невеликих тілах. Просто з-за цього множника сила тяжіння виявляється мізерно малою. Вперше дослідним шляхом встановив значення, яке приймає гравітаційна постійна, фізик Р. Кавендіш. І сталося це в 1788 році. У його дослідах використовувався тонкий стрижень. Він був підвішений на тоненькій дроті з міді і мав довжину близько 2 метрів. До кінців цього стрижня були прикріплені два однакових свинцеві кулі діаметром 5 см. Поруч з ними були встановлені великі свинцеві кулі. Їх діаметр був уже 20 см.




При зближенні великих і маленьких куль спостерігався поворот стрижня. Це говорило про тяжінні. За відомим мас і відстані, а також виміряної силі закручування вдалося досить точно дізнатися, чому одно гравітаційна постійна.

А почалося все з вільного падіння тіл

Якщо помістити в порожнечу тіла різної маси, то вони впадуть одночасно. За умови їх падіння з однакової висоти і його початку в один і той же момент часу. Вдалося розрахувати прискорення, з яким всі тіла падають на Землю. Воно виявилося приблизно дорівнює 98 м/с 2 . Вчені встановили, що сила, з якою все притягається до Землі, присутня завжди. Причому це не залежить від висоти, на яку переміщується тіло. Один метр, кілометр або й сотні кілометрів. Як би далеко не знаходилося тіло, воно буде притягатися до Землі. Інше питання в тому, як її значення буде залежати від відстані?




Саме на це питання знайшов відповідь англійський фізик В. Ньютон.

Зменшення сили тяжіння тіл з їх віддаленням

Для початку він висунув припущення про те, що сила тяжіння убуває. І її значення знаходиться у зворотній залежності від відстані, зведеного в квадрат. Причому це відстань потрібно відраховувати від центру планети. І провів теоретичні розрахунки. Потім цей вчений скористався даними астрономів про рух природного супутника Землі — Місяця. Ньютон розрахував, з яким прискоренням вона обертається навколо планети, і отримав ті ж результати. Це свідчило про правдивість його міркувань і дозволило сформулювати закон всесвітнього тяжіння. Гравітаційна постійна у його формулі поки відсутня. На цьому етапі важливо визначити залежність. Що і було зроблено. Сила тяжіння зменшується обернено пропорційно відстані від центру планети, зарахованого у квадрат.

До закону про всесвітнє тяжіння

Ньютон продовжив роздуми. Оскільки Земля притягує Місяць, то і вона сама повинна притягатися до Сонця. Причому сила такого тяжіння теж повинна підкорятися описаного їм законом. А потім Ньютон поширив його на всі тіла всесвіту. Тому і назву закону включає слово «світова». Сили всесвітнього тяжіння тіл визначаються як пропорційно залежні від твору мас і зворотні квадрату відстані. Пізніше, коли був визначений коефіцієнт, формула закону придбала такий вигляд:

F т = G (m 1 *х m 2 ) : r 2 .

В ній введені такі позначення:

Сила тяжіння



F т



Гравітаційна постійна



G



Маси тіл



m 1 , m 2



Відстань між тілами



r

Формула гравітаційної постійної випливає з цього закону:

G = (F т Х r 2 ) : (m 1 х m 2 ).

Значення гравітаційної постійної

Тепер настала черга конкретних чисел. Оскільки вчені постійно уточнюють це значення, то в різні роки були офіційно прийняті різні числа. Наприклад, за даними за 2008 рік гравітаційна постійна дорівнює 66742 х 10 -11 Нм 2 /кг 2 . Минуло три роки - і константу перерахували. Тепер гравітаційна постійна дорівнює 66738 х 10 -11 Нм 2 /кг 2 . Але для школярів у вирішенні завдань допустимо її округлення до такої величини: 667 х 10 -11 Нм 2 /кг 2 .

У чому фізичний зміст цього числа?

Якщо в формулу, яка дана для закону всесвітнього тяжіння, підставити конкретні числа, то вийде цікавий результат. У приватному разі, коли маси тіл дорівнюють 1 кілограму, а розташовані вони на відстані 1 метра, сила тяжіння виявляється дорівнює самому числу, яке відоме гравітаційної постійної. То є сенс гравітаційної постійної полягає в тому, що вона показує, з якою силою будуть притягатися такі тіла на відстані одного метра. За кількістю видно, наскільки мала ця сила. Адже вона в десять мільярдів менше одиниці. Її навіть неможливо помітити. Навіть при збільшенні тіл в сотню разів результат суттєво не зміниться. Він як і раніше залишиться набагато менше одиниці. Тому стає зрозуміло, чому сила тяжіння помітна тільки в тих ситуаціях, якщо хоча б одне тіло має величезну масу. Наприклад, планета чи зірка.

Як пов'язана гравітаційна постійна з прискоренням вільного падіння?

Якщо порівняти дві формули, одна з яких буде для сили тяжіння, а інша для закону тяжіння Землі, то можна побачити просту закономірність. Гравітаційна постійна, маса Землі і квадрат відстані від центру планети складають коефіцієнт, який дорівнює прискоренню вільного падіння. Якщо записати це формулою, то вийде наступне:

g = (G х M) : r 2 .

Причому в ній використовуються такі позначення:

Маса Землі



M



Радіус Землі



r

До речі, гравітаційну постійну можна знайти і з цієї формули:

G = (g х r 2 ) : M.

Якщо потрібно дізнатися прискорення вільного падіння на деякій висоті над поверхнею планети, то стане в нагоді така формула:

g = (G х M) : (r + n) 2 , де н — висота над поверхнею Землі.

Завдання, в яких вимагається знання гравітаційної постійної

Завдання перше Умова. Чому дорівнює прискорення вільного падіння на одній з планет Сонячної системи, наприклад, на Марсі? Відомо, що маса 623·10 23 кг, а радіус планети 338·10 6 м. Рішення . Потрібно скористатися тією формулою, яка була записана для Землі. Тільки підставити в неї значення, дані в завданні. Вийде, що прискорення вільного падіння буде дорівнює добутку 667 х 10 -11 і 623 х 10 23 , яке потім потрібно розділити на квадрат 338·10 6 . У чисельнику виходить значення 4155 х 10 12 . А у знаменнику буде 1142 х 10 12 . Мірою зменшаться, тому для відповіді достатньо тільки дізнатися частка двох чисел. Відповідь : 364 м/с 2 . Задача друга Умова. Що потрібно зробити з тілами, щоб зменшити їх силу тяжіння в 100 разів? Рішення . Оскільки масу тіл змінювати не можна, то сила буде зменшуватися за рахунок видалення їх один від одного. Сотня виходить від зведення в квадрат 10. Значить, відстань між ними повинно бути в 10 разів більше. Відповідь : віддалити їх на відстань, що перевищує початкове в 10 разів.