Як знайти середню швидкість. Покрокова інструкція

Є середні величини, неправильне визначення яких увійшло у анекдот або притчу. Будь-які невірно проведені розрахунки коментуються розхожою загальнозрозумілій посиланням на такий явно абсурдний результат. У кожного, приміром, викличе посмішку саркастичного розуміння фраза "середня температура по лікарні". Одначе ті самі знавці нерідко, не замислюючись, складають швидкості на окремих відрізках шляху і ділять підраховану суму на число цих ділянок, щоб отримати настільки ж безглуздий відповідь. Нагадаємо із курсу механіки середньої школи, як знайти середню швидкість правильним, а не абсурдним способом.

Аналог "середньої температури" в механіці

В яких випадках каверзні сформульовані умови задачі підштовхують нас до поспішного необдуманному відповіді? Якщо йдеться про "частинах" шляху, але не вказується їх протяжність, це насторожує навіть мало досвідченого у вирішенні подібних прикладів людини. А от якщо в задачі прямо вказується на рівні інтервали, наприклад, "першу половину шляху поїзд слідував зі швидкістю", або "першу третину шляху пішохід пройшов соскоростью", і далі детально розписується, як об'єкт пересувався на рівних ділянках, тобто відомо співвідношення S 1 = S 2 = = S n і точні значення швидкостей v 1 v 2 v n , наше мислення нерідко дає непрощенну помилку. Вважається середнє арифметичне швидкостей, тобто всі відомі значення v складаються і діляться на n . У підсумку відповідь виходить неправильний.

Прості "формули" розрахунку величин при рівномірному русі

І для всього пройденого шляху, і для окремих його ділянок у разі усереднення швидкості справедливі співвідношення, написані для рівномірного руху:

S = vt (1), "формула" шляху;

t=S/v (2) , формула розрахунку часу руху ;

v=S/t (3), "формула" визначення середньої швидкості на ділянці шляху S пройдений за час t .

Тобто для знаходження шуканої величини v з використанням співвідношення (3) нам потрібно точно знати дві інші. Саме вирішуючи питання, як знайти середню швидкість руху, ми насамперед повинні визначити, який весь пройдений шлях S і яке весь час руху t .

Математичне виявлення прихованої помилки

У решаемом нами прикладі пройдений тілом (поїздом або пішоходом) шлях буде дорівнює добутку nS n (так як ми n раз складаємо рівні ділянки шляху, в наведених прикладах - половинки, n = 2 , або третини, n = 3 ). Про повну ж часу руху нам нічого не відомо. Як визначити середню швидкість, якщо знаменник дробу (3) явно не заданий? Скористаємося співвідношенням (2), для кожної ділянки шляху визначимо t n = S n : v n . Суму розрахованих таким чином проміжків часу запишемо під рискою дробу (3). Ясно, що, для того щоб позбутися від знаків "+", потрібно наводити всі S n : v n до спільного знаменника. В результаті виходить "двоповерхова дріб". Далі користуємося правилом: знаменник знаменника йде в чисельник. У підсумку, для задачі з поїздом після скорочення на S n маємо v ср = nv 1 v 2 : v 1 + v 2 n = 2 (4) . Для випадку з пішоходом питання-як знайти середню швидкість, вирішується ще складніше: v ср = nv 1 v 2 v 3 : v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1 , n = 3 (5).

Явне підтвердження помилки "в числах"

Для того щоб "на пальцях" підтвердити, що визначення середнього арифметичного - хибний шлях при розрахунку v ср , конкретизуємо приклад, замінивши абстрактні літери числами. Для поїзда візьмемо швидкості 40 км/год і 60 км/год (помилковий відповідь - 50 км/год ). Для пішохода - 5 , 6 і 4 км/год (середнє арифметичне - 5 км/год ). Неважко переконатися, підставивши значення у співвідношення (4) і (5), що вірними відповідями будуть для локомотива 48 км/год і для людини - 4(864) км/год (періодичний десятковий дріб, результат математично не дуже гарний).

Коли середнє арифметичне "не підводить"

Якщо завдання формулюється так: "За рівні проміжки часу тіло рухалося спочатку зі швидкістю v 1 потім v 2 , v 3 і так далі", швидкий відповідь на питання, як знайти середню швидкість, може бути знайдений неправильним способом. Надамо читачеві самостійно переконатися в цьому, підсумувавши в знаменнику рівні проміжки часу і скориставшись у чисельнику v ср співвідношенням (1). Це, мабуть, єдиний випадок, коли помилковий метод призводить до отримання коректного результату. Але для гарантовано точних розрахунків потрібно користуватися єдино правильним алгоритмом, незмінно звертаючись до дробу v ср = S : t .

Алгоритм на всі випадки життя

Для того щоб напевно уникнути помилки, при вирішенні питання, як знайти середню швидкість, досить запам'ятати й виконати просту послідовність дій:

визначити весь шлях, підсумувавши довжини окремих його ділянок;

встановити весь час шляху;

поділити перший результат на другий, невідомі, не задані в завданні величини при цьому (за умови коректного формулювання умов) скорочуються.

У статті розглянуто найпростіші випадки, коли початкові дані наводяться для рівних часток часу або рівних ділянок шляху. У загальному випадку співвідношення часових проміжків або пройдених тілом відстаней може бути довільним (але при цьому математично визначеними, вираженими конкретним цілим числом або дробом). Правило звернення до співвідношенню v ср = S : t абсолютно універсальне і ніколи не підводить, наскільки б складні на перший погляд алгебраїчні перетворення не доводилося виконувати. Наостанок зазначимо: для спостережних читачів не залишилася непоміченою практична значущість використання вірного алгоритму. Правильно розрахована середня швидкість у наведених прикладах виявилася трохи нижче "середньої температури" на трасі. Тому помилковий алгоритм для систем, що фіксують перевищення швидкості, означав би більше число помилкових постанов ДАІ, висланих у "листах щастя" водіям.